№3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 см, а один из острых углов равен 30°. Найдите катет, противолежащий этому углу, и площадь треугольника.

Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы:

\(a=12\cdot\sin 30^\circ=12\cdot\frac{1}{2}=6\) см.

Второй катет найдём по теореме Пифагора:

\(b=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) см.

Площадь прямоугольного треугольника:

\(S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\sqrt{3}=18\sqrt{3}\) см².

Ответ: 6 см; \(18\sqrt{3}\) см².