3. В прямоугольной трапеции АВСД боковая сторона равна АВ=10 см, большее основание АД= 18 см, острый угол трапеции равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD
• AB = 10 см (боковая сторона, которая является высотой, так как трапеция прямоугольная)
• AD = 18 см (большее основание)
• \[ \angle D = 45^{\circ} \] (острый угол трапеции)

Найти: Площадь трапеции S

Решение:

В прямоугольной трапеции ABCD, сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC, следовательно, AB является высотой трапеции.

Высота h = AB = 10 см.

Большее основание a = AD = 18 см.

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно знать длину меньшего основания BC.

Проведем высоту из вершины C к основанию AD. Обозначим точку пересечения как H. Тогда CH = AB = 10 см, и BH = BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH. Угол D = 45°.

Так как CH — высота, то \[ \angle CHD = 90^{\circ} \].

В прямоугольном треугольнике CDH, угол при вершине C равен 180° - 90° - 45° = 45°.

Поскольку два угла в треугольнике CDH равны 45°, то этот треугольник равнобедренный, и катеты равны:

\[ CH = DH \]

Мы знаем, что CH = 10 см, следовательно, DH = 10 см.

Теперь мы можем найти длину меньшего основания BC. Основание AD состоит из отрезков AH и DH.

\[ AD = AH + DH \]

В прямоугольной трапеции, отрезок AH равен длине меньшего основания BC (или BH, если проведена высота из B).

Поскольку ABCD - прямоугольная трапеция, то BH = BC. А так как ABCH — прямоугольник, то AH = BC.

Значит, BC = AH.

\[ AD = BC + DH \]

\[ 18 = BC + 10 \]

\[ BC = 18 - 10 \]

\[ BC = 8 \text{ см} \]

Итак, основания трапеции равны:

a = AD = 18 см

b = BC = 8 см

Высота h = AB = 10 см

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]

\[ S = \frac{18 + 8}{2} \times 10 \]

\[ S = \frac{26}{2} \times 10 \]

\[ S = 13 \times 10 \]

\[ S = 130 \text{ см}^2 \]

Ответ: 130 см².