4. В треугольнике АВС со сторонами АС=12 см и АВ=18 см проведена прямая MN, параллельная АС, MN=9 см. Найдите ВМ.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• AC = 12 см
• AB = 18 см
• MN || AC
• MN = 9 см
• M принадлежит AB, N принадлежит BC

Найти: BM

Решение:

Так как прямая MN параллельна стороне AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум углам:

\[ \angle B \] — общий для обоих треугольников.

\[ \angle BMN = \angle BAC \] (соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).

Следовательно, \[ \triangle MBN ∳ \triangle ABC \].

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

\[ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]

Нас интересует отношение сторон, связанное с BM, BA, MN и AC:

\[ \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{BM}{18} = \frac{9}{12} \]

Упростим дробь \[ \frac{9}{12} \]:

\[ \frac{9}{12} = \frac{3 \times 3}{3 \times 4} = \frac{3}{4} \]

Теперь решим уравнение:

\[ \frac{BM}{18} = \frac{3}{4} \]

Чтобы найти BM, умножим обе стороны на 18:

\[ BM = 18 \times \frac{3}{4} \]

\[ BM = \frac{18 \times 3}{4} \]

\[ BM = \frac{54}{4} \]

\[ BM = 13.5 \text{ см} \]

Ответ: 13.5 см.