3. В прямоугольной трапеции с острым углом 60° диагональ является биссектрисой тупого угла. Найдите большую боковую сторону и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 7 см.

Обозначим меньшее основание через \(a=7\) см, высоту — через \(h\), а горизонтальную разность оснований — через \(d\).

1. Из прямоугольного треугольника у наклонной боковой стороны: \(\tan 60°=h/d\), значит \(h=d\sqrt{3}\).

2. Тупой угол равен 120°, поэтому его биссектриса образует с основанием угол 60°. Диагональ-биссектриса имеет вертикальный перепад \(h\) и горизонтальный пробег, равный меньшему основанию \(a\). Следовательно, \(h/a=\tan 60°=\sqrt{3}\), откуда \(h=7\sqrt{3}\) см.

3. Из \(h=d\sqrt{3}\) получаем \(d=7\) см. Большее основание равно \(a+d=7+7=14\) см.

4. Большая боковая сторона — наклонная. Она является гипотенузой треугольника с катетами \(h=7\sqrt{3}\) и \(d=7\): \(\sqrt{(7\sqrt{3})^2+7^2}=\sqrt{196}=14\) см. Другая боковая сторона равна высоте \(7\sqrt{3}\) см, что меньше 14 см.

Ответ: большая боковая сторона — 14 см, большее основание — 14 см.