4. Докажите, что параллелограмм, у которого высоты, проведённые из вершины острого угла, равны, является ромбом.

Пусть стороны параллелограмма равны \(a\) и \(b\), а острый угол между ними равен \(\alpha\). Высоты, проведённые из вершины этого угла к противоположным сторонам, равны соответственно \(a\sin\alpha\) и \(b\sin\alpha\).

По условию высоты равны, поэтому \(a\sin\alpha=b\sin\alpha\). Так как \(\alpha\) острый, \(\sin\alpha\ne0\), следовательно, \(a=b\). В параллелограмме противоположные стороны равны; значит, если равны и соседние стороны, то все четыре стороны равны.

Следовательно, данный параллелограмм является ромбом.