3. В равнобедренном треугольнике TPK с основанием TP на стороне TK взята точка F, а на стороне PK — точка M, так, что KF = KM. Докажите, что ΔTMP = ΔPFT.

Так как треугольник TPK равнобедренный с основанием TP, его боковые стороны равны: KT = KP.

Рассмотрим треугольники KTM и KPF. Имеем KT = KP и KM = KF по условию. Угол TKM равен углу PKF: оба образованы лучами KT и KP, поскольку F лежит на KT, а M — на KP. Значит, треугольники KTM и KPF равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому TM = PF.

Поскольку KP = KT и KM = KF, вычитание равных отрезков даёт PM = TF. Кроме того, TP — общая сторона треугольников TMP и PFT.

Следовательно, TM = PF, MP = FT и TP = PT. Значит, ΔTMP = ΔPFT по трём сторонам.