3. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если основание AD = 20 см, а основание BC = 12 см.

Решение:

1. Опустим высоту BH из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции \( AH = HD' = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = 4 \) см.
2. Проведем диагональ AC. Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle CAD = \angle ADB \).
3. Так как CD перпендикулярна AC, то \( \angle ACD = 90^{\circ} \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В нём \( \angle ADC \) — угол при основании.
5. Проведем высоту CM из вершины C на основание AD. \( CM \) — высота трапеции. \( MD = AH = 4 \) см.
6. \( CD = BC = 12 \) см (боковые стороны равнобедренной трапеции).
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник CMD. \( CM^2 + MD^2 = CD^2 \) \( CM^2 + 4^2 = 12^2 \) \( CM^2 + 16 = 144 \) \( CM^2 = 144 - 16 \) \( CM^2 = 128 \) \( CM = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \) см.
8. Высота трапеции равна \( h = CM = 8\sqrt{2} \) см.
9. Площадь трапеции: \( S = \frac{AD + BC}{2} \times h = \frac{20 + 12}{2} \times 8\sqrt{2} = \frac{32}{2} \times 8\sqrt{2} = 16 \times 8\sqrt{2} = 128\sqrt{2} \) см².

Ответ: Площадь трапеции равна 128\(\sqrt{2}\) см².