3. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Определите сторону квадрата, если гипотенуза равна 30 дм.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим катет через \(a\), а сторону квадрата через \(x\).

По теореме Пифагора:

\(a^2+a^2=30^2\),

\(2a^2=900\),

\(a=15\sqrt{2}\) дм.

Для квадрата, вписанного указанным способом, его сторона равна:

\(x=\frac{a}{1+\sqrt{2}}\).

Подставим значение катета:

\(x=\frac{15\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=15(2-\sqrt{2})\) дм.

Приближённо:

\(x\approx15(2-1.414)=8.79\) дм.

Ответ: \(15(2-\sqrt{2})\) дм, или примерно 8.79 дм.