3. В равностороннем треугольнике $ABC$ $BD$ — биссектриса. Найдите $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|$, если $AB=2\sqrt3$ см.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. В равностороннем треугольнике $ABC$ $BD$ — биссектриса. Найдите…$ Фото задания

Accepted Answer

В равностороннем треугольнике биссектриса $BD$ является также медианой и высотой. Значит, $D$ — середина $AC$, и $AD=\dfrac{AC}{2}$.

Преобразуем сумму векторов, используя правило сложения:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$.

Так как $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$, получаем:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$.

Следовательно, искомый модуль равен длине высоты равностороннего треугольника. При стороне $2\sqrt3$ см высота равна:

$BD=\dfrac{AB\sqrt3}{2}=\dfrac{2\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=3$ см.

Ответ: 3 см.

3. В равностороннем треугольнике \(ABC\) \(BD\) — биссектриса. Найдите \(\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|\), если \(AB=2\sqrt3\) см.