3. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Так как точки \(M\), \(N\), \(K\) — середины сторон треугольника \(ABC\), то по теореме о средней линии:

1. \(MN\parallel AC\) и \(MN=\frac12AC\);
2. \(NK\parallel AB\) и \(NK=\frac12AB\);
3. \(KM\parallel BC\) и \(KM=\frac12BC\).

Треугольник \(ABC\) равносторонний, поэтому \(AB=BC=CA\). Следовательно:

\[MN=NK=KM.\]

Значит, все три стороны треугольника \(MNK\) равны, поэтому треугольник \(MNK\) — равносторонний.

Что и требовалось доказать.