№3. В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону BC и диагональ BD соответственно в точках M и N. Найдите угол ANB, если ∠AMC = 120°.

Обозначим \(\angle BAC=\theta\). В ромбе диагональ \(AC\) биссектрисса угла \(A\), поэтому \(\angle BAC=\angle CAD=\theta\). Следовательно, \(\angle A=2\theta\), а соседний угол \(B=180^\circ-2\theta\).

Так как \(M\) лежит на стороне \(BC\), лучи \(MB\) и \(MC\) противоположны. Из условия \(\angle AMC=120^\circ\) следует \(\angle AMB=60^\circ\). В треугольнике \(ABM\): \(\angle ABM=\angle B=180^\circ-2\theta\), а \(\angle BAM=\theta/2\), поскольку \(AM\) — биссектриса угла \(BAC\).

Сумма углов треугольника даёт \(\theta/2+(180^\circ-2\theta)+60^\circ=180^\circ\), откуда \(\theta=40^\circ\).

Диагонали ромба перпендикулярны, значит \(AC\perp BD\). В треугольнике \(ABN\) угол при \(A\) равен \(\angle BAN=\angle BAC+\angle CAN=40^\circ+90^\circ=130^\circ\) — однако лучи \(AC\) и \(AN\text{?}\) здесь не образуют угол \(\angle CAN\): точка \(N\) лежит на \(BD\), а \(AN\) — биссектриса \(\angle BAC\). Поэтому \(\angle BAN=20^\circ\). Кроме того, \(\angle ABN=\angle ABD= frac12\angle B=50^\circ\), так как диагональ \(BD\) биссектриса угла \(B\). Тогда \(\angle ANB=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ\).

Ответ: \(110^\circ\).