3. В ромбе TMNF отметили точку H — середину стороны TM, и точку D — середину стороны MN. Оказалось, что HF = 148. Чему равна длина отрезка DF? Ответ обоснуйте.

Ромб TMNF — параллелограмм. Обозначим \(\overrightarrow{MT}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{MN}=\mathbf b\), где \(|\mathbf a|=|\mathbf b|\). Возьмём M за начало координат в векторной записи. Тогда \(T=\mathbf a\), \(N=\mathbf b\), \(F=\mathbf a+\mathbf b\).

Так как H и D — середины соответствующих сторон, \(H=\mathbf a/2\), \(D=\mathbf b/2\). Тогда \(\overrightarrow{HF}=\mathbf a/2+\mathbf b\), а \(\overrightarrow{DF}=\mathbf a+\mathbf b/2\).

Квадраты длин этих векторов равны: каждый имеет вид \(5|\mathbf a|^2/4+\mathbf a\cdot\mathbf b\), поскольку \(|\mathbf a|=|\mathbf b|\). Следовательно, \(HF=DF\), и при \(HF=148\) получаем \(DF=148\).

Ответ: 148.