3. В тетраэдре ABCD точки K, L, P — середины рёбер AB, BC, CD соответственно. Докажите, что прямые KL и DP скрещиваются.

Так как K и L — середины сторон AB и BC треугольника ABC, по теореме о средней линии KL ∥ AC.

Прямая DP совпадает с прямой CD, поскольку P лежит на CD. Прямые AC и CD пересекаются в точке C, поэтому KL, параллельная AC, не параллельна CD. Кроме того, KL лежит в плоскости ABC и не проходит через C, а CD пересекает эту плоскость только в точке C. Значит, KL и CD не пересекаются.

Таким образом, KL и DP не параллельны и не пересекаются, следовательно, они скрещиваются.