3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, боковые стороны равны 10 и 12 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

При обычной записи трапеции ABCD основания — AD и BC, а боковые стороны — AB и CD. Тогда углы A и D лежат при одном основании, а сумма внутренних односторонних углов при боковой стороне AD должна быть 180°. Но \(60°+45°=105°\), поэтому такое прочтение условий невозможно.

Если основания обозначены иначе (AD и BC — боковые стороны, AB и CD — основания), данные допускают два соответствия длин боковых сторон углам. Горизонтальные проекции боковых сторон дают разность оснований. Средняя линия равна полусумме оснований, то есть 8 см плюс половина суммы проекций.

Если сторона длиной 10 см прилежит к углу 60°, а сторона 12 см — к углу 45°, проекции равны \(10\cos60°=5\) см и \(12\cos45°=6\sqrt2\) см. Средняя линия: \(8+\frac{5+6\sqrt2}{2}=10{,}5+3\sqrt2\) см.

При обратном соответствии проекции равны \(12\cos60°=6\) см и \(10\cos45°=5\sqrt2\) см. Средняя линия: \(8+\frac{6+5\sqrt2}{2}=11+\frac52\sqrt2\) см.

Чтобы выбрать единственный ответ, нужно уточнить, какие стороны являются основаниями и какая длина боковой стороны соответствует каждому углу. При стандартном обозначении трапеции условие противоречиво.