4*. В треугольнике ABC B₁ — середина AC, точка A₁ лежит на стороне BC так, что BA₁ : A₁C = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина BB₁ лежит на прямой AA₁.

Пусть M — середина BB₁, а \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AC}=\vec v\).

1. Поскольку B₁ — середина AC, \(\overrightarrow{AB_1}=\frac12\vec v\).

2. Из отношения BA₁ : A₁C = 1 : 2 следует \(\overrightarrow{BA_1}=\frac13\overrightarrow{BC}=\frac13(\vec v-\vec u)\). Поэтому \(\overrightarrow{AA_1}=\vec u+\frac13(\vec v-\vec u)=\frac23\vec u+\frac13\vec v\).

3. Так как M — середина BB₁, \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1})=\frac12\vec u+\frac14\vec v\).

4. Сравним: \(\overrightarrow{AM}=\frac34\left(\frac23\vec u+\frac13\vec v\right)=\frac34\overrightarrow{AA_1}\). Следовательно, векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) коллинеарны, значит, M лежит на прямой AA₁.