3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Примем стандартное для этих данных расположение оснований: \(AD\parallel BC\), так что углы \(A\) и \(D\) прилежат к одному основанию, а боковые стороны — \(AB\) и \(CD\). Меньшее основание равно 8 см.

1. Высота трапеции одна и та же. Если меньшая боковая сторона \(AB=10\) см, то \(h=AB\sin60^\circ=5\sqrt3\) см. Другая боковая сторона при угле \(D=45^\circ\) длиннее, поскольку её длина \(h/\sin45^\circ=5\sqrt6\) см.
2. Разность оснований равна сумме горизонтальных проекций боковых сторон: \(h\cot60^\circ+h\cot45^\circ=5+5\sqrt3\) см.
3. Тогда средняя линия равна половине суммы оснований: \(m=\frac{8+(8+5+5\sqrt3)}2=\frac{21+5\sqrt3}{2}\) см.

Ответ: \(\frac{21+5\sqrt3}{2}\) см (примерно 14,83 см).