4. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены соответственно точки M и H так, что AB = 3BM, BC = 3BH. Используя векторы, докажите, что MH ∥ AC и MH = \(\frac13\) AC.

Так как \(M\) лежит на \(AB\), а \(AB=3BM\), имеем \(\overrightarrow{BM}=\frac13\overrightarrow{BA}\). Аналогично, \(\overrightarrow{BH}=\frac13\overrightarrow{BC}\).

1. Выразим вектор из M в H через векторы с началом в B: \(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BH}\).
2. Подставим отношения: \(\overrightarrow{MH}=-\frac13\overrightarrow{BA}+\frac13\overrightarrow{BC}=\frac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\).
3. По правилу треугольника \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Поэтому \(\overrightarrow{MH}=\frac13\overrightarrow{AC}\).

Векторы \(\overrightarrow{MH}\) и \(\overrightarrow{AC}\) пропорциональны положительным коэффициентом, значит, они сонаправлены и параллельны; длина первого в три раза меньше длины второго.

Что и требовалось доказать.