3. В трапеции ABCD (AD — большее основание) диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, а угол CAD равен 30°. Известно, что угол D равен 60°, AB = BC = CD, а периметр трапеции равен 48 см. Найдите длину основания AD.

Так как \(AC\perp CD\), треугольник \(ACD\) прямоугольный, причём угол \(C=90°\). В нём \(\angle CAD=30°\), поэтому \(\angle D=60°\), что согласуется с условием.

Обозначим \(CD=x\). В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 30° равна половине гипотенузы, значит \(AD=2x\).

По условию \(AB=BC=CD=x\). Периметр трапеции равен \(AD+AB+BC+CD=2x+x+x+x=5x\). Следовательно, \(5x=48\), откуда \(x=9.6\) см.

Тогда \(AD=2\cdot9.6=19.2\) см.

Ответ: 19,2 см.