3. В трапеции ABCD \(\angle A=60^\circ\), \(\angle D=45^\circ\), меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть меньшее основание равно 8 см, а высота трапеции — h. Перпендикулярные к основаниям проекции боковых сторон равны \(h\cot60^\circ\) и \(h\cot45^\circ\). Так как \(\cot60^\circ<\cot45^\circ\), боковая сторона при угле 60° короче. Она равна \(h/\sin60^\circ=10\), откуда \(h=10\sin60^\circ=5\sqrt3\) см.

Разность оснований равна сумме проекций боковых сторон:

\(h(\cot60^\circ+\cot45^\circ)=5\sqrt3(1/\sqrt3+1)=5+5\sqrt3\) см.

Следовательно, большее основание равно \(8+5+5\sqrt3=13+5\sqrt3\) см. Средняя линия равна полусумме оснований:

\(m=\frac{8+(13+5\sqrt3)}{2}=\frac{21+5\sqrt3}{2}\) см \(\approx14.83\) см.

Ответ: \(\frac{21+5\sqrt3}{2}\) см.