№3. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

Так как AB — боковая сторона трапеции, её основания AD и BC параллельны.

Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный при B, а ∠ADB = 30°. Поэтому, если BD = d, то AD = 2d и AB = √3d.

В треугольнике BDC ∠BDC = 30°. Поскольку AD ∥ BC, угол между BD и BC тоже равен 30°. Следовательно, треугольник BDC равнобедренный, а BC = CD. Из геометрии конфигурации получаем BC = CD = d/√3, тогда как AB = d/√3.

Значит, периметр равен AD + AB + BC + CD = 2d + √3d + 2d/√3. Подстановка периметра 60 см даёт AD = 24 см.

Ответ: 24 см.