3. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, углы ADB и BDC равны 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Понимая обозначения трапеции ABCD в стандартном порядке, принимаем \(AD\parallel BC\). Так как \(BD\perp AB\), треугольник ABD прямоугольный, а \(\angle ADB=30°\). Поэтому \(AB=\frac{AD}{2}\), а \(BD=\frac{\sqrt3}{2}AD\).

Угол BDC равен 30°. Поскольку \(AD\parallel BC\), угол между BD и BC также равен 30°. В треугольнике BDC углы при D и B равны, значит, \(BC=CD\).

Обозначим \(AD=x\). Проекция BD на направление оснований равна \(\frac{3x}{4}\), поэтому \(BC=AD-\frac{3x}{4}=\frac{x}{4}\). Тогда \(CD=\frac{x}{4}\), а периметр:

\(x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{4}=60\), откуда \(2x=60\), следовательно, \(x=30\).

Ответ: \(AD=30\) см.