3. В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD; отрезки MN и AC пересекаются в точке O. Доказать: AO = CO.

Поскольку M и N — середины боковых сторон трапеции, отрезок MN является её средней линией, поэтому MN ∥ AD.

Рассмотрим треугольник ADC. Точка N — середина CD, а прямая через N, параллельная AD, пересекает AC в точке O. По теореме о средней линии треугольника O — середина AC.

Следовательно, AO = CO.