4. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, AD = 16, BC = 10. Точка M — середина AB; MK ∥ BE ∥ CD, причём K и E лежат на AD. Найти AK.

Из условия MK ∥ BE следует, что MK параллелен CD. Введём координаты: пусть A = (0, 0), D = (16, 0), B = (x, h), C = (x + 10, h). Тогда, поскольку M — середина AB, M = (x/2, h/2).

Направляющий вектор CD равен (x − 6, h). Прямая через M, параллельная CD, доходит до AD при смещении по вертикали на −h/2, то есть на половину вектора CD с противоположным направлением. Поэтому координата K по горизонтали равна x/2 − (x − 6)/2 = 3.

Так как A = (0, 0), получаем AK = 3.

Ответ: AK = 3.