3. В трапеции ABCD углы А и В прямые. Диагональ AC — биссектриса угла А и равна 6 см. Найдите площадь трапеции, если угол CDА равен 60°.

Решение:

1. Дано: ABCD — трапеция, \( \angle A = \angle B = 90^{\circ} \). AC = 6 см, \( \angle CDA = 60^{\circ} \), AC — биссектриса \( \angle A \).

2. Так как \( \angle A = 90^{\circ} \) и AC — биссектриса, то \( \angle CAD = \angle BAC = 90^{\circ}/2 = 45^{\circ} \).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. \( \angle ACB = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный: AB = BC.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

\[ 6^2 = AB^2 + AB^2 \]

\[ 36 = 2 AB^2 \]

\[ AB^2 = 18 \]

\[ AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см} \]

Значит, AB = BC = \( 3\sqrt{2} \text{ см} \).

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. \( \angle ADC = 60^{\circ} \), \( \angle CAD = 45^{\circ} \). Угол ACD = \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

6. В прямоугольном треугольнике ACD:

\[ \tan(\angle CDA) = \frac{AC}{CD} \]

\[ \tan(60^{\circ}) = \frac{AC}{CD} \]

\[ \sqrt{3} = \frac{6}{CD} \]

\[ CD = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

7. Также в прямоугольном треугольнике ACD:

\[ \tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD} \]

\[ \tan(45^{\circ}) = \frac{CD}{AD} \]

\[ 1 = \frac{2\sqrt{3}}{AD} \]

\[ AD = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

8. Площадь трапеции ABCD равна:

\[ S = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot AB \]

\[ S = \frac{1}{2} (2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) \cdot 3\sqrt{2} \]

\[ S = \frac{1}{2} (6 \cdot 2 + 9 \cdot 2) \]

\[ S = \frac{1}{2} (12 + 18) = \frac{1}{2} (30) = 15 \text{ см}^2 \]

Ответ: 15 см².