3. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠C = 15°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠BDC = 15°. Докажите, что BD = 2AB. б) Докажите, что BC < 4AB.

Решение:

а) Докажем, что BD = 2AB.

1. В треугольнике ABC: \( \angle A = 90°, \angle C = 15° \). Тогда \( \angle B = 180° - 90° - 15° = 75° \).
2. Рассмотрим треугольник BDC: \( \angle BDC = 15° \). Так как \( \angle C = 15° \), то треугольник BDC является равнобедренным с основанием BC. Следовательно, \( BD = BC \).
3. В треугольнике ABD: \( \angle ADB = 180° - \angle BDC = 180° - 15° = 165° \).
4. Так как \( \angle C = 15° \) и \( \angle BDC = 15° \), то \( \triangle BDC \) — равнобедренный, \( BC = BD \).
5. В \( \triangle ABD \), \( \angle ADB = 180^ - 15^ = 165^.
6. В \( \triangle ABC \), \( \angle A = 90^, \angle C = 15^, \angle B = 75^.
7. В \( \triangle ABD \), \( \angle A = 90^, \angle ADB = 165^. Сумма углов в \( \triangle ABD \) не может быть 180°. Условие задачи противоречиво.

б) Условие задачи противоречиво, поэтому доказательство невозможно.