3. В треугольнике ABC ∠C = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°. а) Докажите, что AD = BC. б) Докажите, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка BC.

Решение:

а) Докажем, что AD = BC.

1. В треугольнике ABC: \( \angle C = 60° \). \( \angle ABD = 30° \). \( \angle BDC = 60° \).
2. Из \( \angle BDC = 60° \) и \( \angle C = 60° \), следует, что \( \triangle BDC \) равнобедренный с основанием BC, так как углы при основании равны. Значит, \( BD = BC \).
3. В \( \triangle ABD \): \( \angle ADB = 180° - \angle BDC = 180° - 60° = 120° \).
4. \( \angle A = 180° - \angle ABD - \angle ADB = 180° - 30° - 120° = 30° \).
5. Так как \( \angle A = 30° \) и \( \angle ABD = 30° \), то \( \triangle ABD \) равнобедренный с основанием AD. Следовательно, \( AD = BD \).
6. Поскольку \( BD = BC \) и \( AD = BD \), то \( AD = BC \).

б) Докажем, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка BC.

1. Периметр \( P_{ABC} = AB + BC + AC \).
2. Нам нужно доказать, что \( AB + BC + AC < 5 BC \).
3. Это эквивалентно \( AB + AC < 4 BC \).
4. Из \( \triangle ABD \), \( AB = BD \) (так как \( \angle A = \angle ABD = 30° \)).
5. Из \( \triangle BDC \), \( BD = BC \) (так как \( \angle C = \angle BDC = 60° \)).
6. Следовательно, \( AB = BC \).
7. В \( \triangle ABC \), \( \angle A = 30°, \angle C = 60°, \angle B = \angle ABD + \angle DBC = 30° + (180° - 60° - 60°) = 30° + 60° = 90° \).
8. Итак, \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с \( \angle B = 90° \), \( \angle A = 30° \), \( \angle C = 60° \).
9. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. \( AC = \frac{1}{2} BC \).
10. Это противоречит тому, что \( \angle C = 60° \) и \( \angle A = 30° \) противолежат сторонам AB и BC соответственно. \( AB = BC \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} BC \) и \( AC = BC \sin 30° = \frac{1}{2} BC \).
11. Из \( AB = BD \) и \( BD = BC \), следует \( AB = BC \).
12. Из \( \triangle BDC \), \( \angle BDC = 60°, \angle C = 60°, \angle DBC = 60° \). \( \triangle BDC \) — равносторонний. Значит, \( BC = BD = CD \).
13. Из \( \triangle ABD \), \( \angle A = 30°, \angle ABD = 30°, \angle ADB = 120° \). \( \triangle ABD \) — равнобедренный. Значит, \( AD = BD \).
14. Таким образом, \( AD = BD = BC \).
15. \( AC = AD + CD = BC + BC = 2BC \).
16. Периметр \( P_{ABC} = AB + BC + AC = AB + BC + 2BC = AB + 3BC \).
17. Нам нужно доказать, что \( AB + 3BC < 5BC \), то есть \( AB < 2BC \).
18. Но мы получили \( AB = BC \).
19. В условии задачи есть противоречие.

Ответ: а) AD = BC. б) Условие задачи содержит противоречие, доказательство невозможно.