3. В треугольнике ABC AB = 5 см, BC = 12 см, ∠ABM = 70°, ∠CBM = 40°, где BM — медиана. Найдите длину медианы BM.

Так как луч BM находится внутри угла ABC, из данных углов следует \(\angle ABC=70^\circ+40^\circ=110^\circ\).

Проверим, может ли медиана иметь направление, заданное углами. Расположим B в начале координат, а BA направим по горизонтали. Тогда A имеет координаты \((5,0)\), а C — \((12\cos110^\circ,12\sin110^\circ)\). Так как M — середина AC, направление BM совпадает с направлением вектора \((5+12\cos110^\circ,12\sin110^\circ)\).

Отсюда угол между BA и BM должен быть \(\arctan\frac{12\sin110^\circ}{5+12\cos110^\circ}\approx85.5^\circ\), а не 70°.

Следовательно, данные условия противоречивы: такого треугольника не существует, поэтому длину BM определить нельзя.