№ 3. В треугольнике ABC AB = BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC — точки P и K соответственно (точки P, M и K не лежат на одной прямой). Известно, что ∠BMP = ∠BMK. Докажите, что: а) углы BPM и BKM равны; б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.

Так как BE — медиана, точка E является серединой AC. В равнобедренном треугольнике ABC с AB = BC медиана BE, проведённая к основанию AC, является биссектрисой угла B. Поэтому \(\angle PBM=\angle MBK\), поскольку P лежит на AB, а K — на BC.

По условию \(\angle BMP=\angle BMK\), а отрезок BM — общий для треугольников BMP и BMK. Следовательно, треугольники BMP и BMK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

а) Из равенства треугольников соответствующие углы равны: \(\angle BPM=\angle BKM\).

б) Из равенства треугольников следует \(BP=BK\) и \(MP=MK\). Значит, точки B и M равноудалены от P и K, поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре к PK. Прямая BM и есть этот серединный перпендикуляр.

Ответ: а) \(\angle BPM=\angle BKM\); б) \(PK\perp BM\).