3. В треугольнике ABC угол B равен 134°, а высота, опущенная из вершины A, в два раза меньше биссектрисы угла A. Найдите угол C. Ответ выразите в градусах.

Обозначим стороны, противоположные углам A, B и C, через \(a,b,c\). Высота из A равна \(h_a=c\sin B\), а длина биссектрисы угла A равна \(l_a=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}\).

По условию \(h_a=\frac{l_a}{2}\). Подставим формулы и сократим общий множитель \(c\): \(\sin B=\frac{b\cos(A/2)}{b+c}\).

По теореме синусов стороны пропорциональны синусам противоположных углов, поэтому \(b:c=\sin B:\sin C\). После подстановки получаем \(\sin B+\sin C=\cos(A/2)\).

Так как \(A+C=46^\circ\), имеем \(\sin134^\circ+\sin C=\sin46^\circ+\sin(46^\circ-A)=2\sin(46^\circ-A/2)\cos(A/2)\). Следовательно, \(2\sin(46^\circ-A/2)=1\). Угол \(46^\circ-A/2\) находится между 23° и 46°, поэтому он равен 30°. Отсюда \(A=32^\circ\), а \(C=46^\circ-32^\circ=14^\circ\).

Ответ: 14°.