3. В треугольнике ABC угол BAC равен 36°, AC – CB. Найдите внешний угол при вершине C.

Давайте разберем задачу по шагам:

1. Анализ условия:

• У нас есть треугольник ABC.
• Известно, что угол \( \angle BAC = 36^{\circ} \).
• Также дано условие \( AC = CB \). Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, причем боковые стороны AC и CB равны.
• Нам нужно найти внешний угол при вершине C.

2. Свойства равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В нашем случае основанием является сторона AB, а углы при основании — \( \angle BAC \) и \( \angle ABC \).

Следовательно, \( \angle ABC = \angle BAC = 36^{\circ} \).

3. Нахождение угла при вершине C:

Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Поэтому, чтобы найти угол \( \angle ACB \) (внутренний угол при вершине C), мы вычтем известные углы из \( 180^{\circ} \):

\( \angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) \)

\( \angle ACB = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) \)

\( \angle ACB = 180^{\circ} - 72^{\circ} \)

\( \angle ACB = 108^{\circ} \)

4. Нахождение внешнего угла при вершине C:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Либо, внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают \( 180^{\circ} \).

Обозначим внешний угол при вершине C как \( \angle C_{внеш} \).

\( \angle C_{внеш} + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle C_{внеш} = 180^{\circ} - \angle ACB \)

\( \angle C_{внеш} = 180^{\circ} - 108^{\circ} \)

\( \angle C_{внеш} = 72^{\circ} \)

Альтернативный способ:

Внешний угол при вершине C равен сумме двух других углов треугольника:

\( \angle C_{внеш} = \angle BAC + \angle ABC = 36^{\circ} + 36^{\circ} = 72^{\circ} \).

Ответ: Внешний угол при вершине C равен 72°.