4. Прямые m и n параллельны. Найдите \angle 3, если \angle 1 = 42°, \angle 2 = 73°. Ответ дайте в градусах.

Давай разберем эту задачу шаг за шагом, используя свойства параллельных прямых и секущих.

1. Анализ данных:

• Прямые \( m \) и \( n \) параллельны ($$m \parallel n$$).
• Дан угол \( \angle 1 = 42^{\circ} \).
• Дан угол \( \angle 2 = 73^{\circ} \).
• Нужно найти \( \angle 3 \).

2. Введение вспомогательной прямой:

Чтобы найти \( \angle 3 \), проведем через вершину угла \( \angle 2 \) (точку пересечения секущей с прямой \( n \)) вспомогательную прямую \( k \), параллельную \( m \) и \( n \).

\( m \parallel n \parallel k \).

3. Работа с углом \( \angle 1 \):

Угол \( \angle 1 \) и часть угла \( \angle 2 \), которая лежит между прямой \( m \) и вспомогательной прямой \( k \), являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( m \) и \( k \) и секущей. Следовательно, они равны.

Пусть \( \angle 2_a \) – часть угла \( \angle 2 \), которая прилегает к \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 2_a = \angle 1 = 42^{\circ} \).

4. Работа с углом \( \angle 3 \):

Угол \( \angle 3 \) и оставшаяся часть угла \( \angle 2 \) (обозначим ее \( \angle 2_b \)), которая лежит между вспомогательной прямой \( k \) и прямой \( n \), являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( k \) и \( n \) и той же секущей. Следовательно, \( \angle 3 = \angle 2_b \).

5. Нахождение \( \angle 2_b \):

Мы знаем, что полный угол \( \angle 2 = 73^{\circ} \) состоит из двух частей: \( \angle 2_a \) и \( \angle 2_b \).

\( \angle 2 = \angle 2_a + \angle 2_b \)

\( 73^{\circ} = 42^{\circ} + \angle 2_b \)

\( \angle 2_b = 73^{\circ} - 42^{\circ} \)

\( \angle 2_b = 31^{\circ} \)

6. Окончательный результат:

Так как \( \angle 3 = \angle 2_b \), то

\( \angle 3 = 31^{\circ} \).

Ответ: Угол 3 равен 31°.