3. В треугольнике АВС <С = 90°, СС₁ - высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найдите <CAB.

Дано:

Треугольник ABC, $$\angle C = 90^{\circ}$$

$$CC_1$$ — высота

$$CC_1 = 5$$ см

$$BC = 10$$ см

Найти: $$\angle CAB$$

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CC_1B$$. В нем:

• $$CC_1 = 5$$ см (катет)
• $$BC = 10$$ см (гипотенуза)

Мы можем найти синус угла $$\angle CBC_1$$:

\[ \sin(\angle CBC_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CC_1}{BC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Из этого следует, что $$\angle CBC_1 = 30^{\circ}$$ (так как синус 30 градусов равен 1/2).

Углы $$\angle CBC_1$$ и $$\angle ABC$$ — это один и тот же угол, поэтому $$\angle ABC = 30^{\circ}$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам:

\[ \angle CAB + \angle ABC = 90^{\circ} \]

Подставим известное значение $$\angle ABC = 30^{\circ}$$:

\[ \angle CAB + 30^{\circ} = 90^{\circ} \]

\[ \angle CAB = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

Ответ: $$60^{\circ}$$