5. В равнобедренном треугольнике MNK точка D- середина основания MK, DA и DB - перпендикуляры к боковым сторонам. Докажите, что DA = DB.

Дано:

Равнобедренный треугольник MNK

$$D$$ — середина основания $$MK$$

$$DA \perp NK$$

$$DB \perp MN$$

Доказать: $$DA = DB$$

Доказательство:

1. Так как треугольник MNK равнобедренный с основанием MK, то углы при основании равны: $$\angle NMK = \angle NKM$$.

2. Поскольку D — середина основания MK, то $$MD = DK$$.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $$\triangle MDB$$ и $$\triangle KDA$$.

• В $$\triangle MDB$$: $$\angle MBD = 90^{\circ}$$, $$\angle BMD = \angle NMK$$.
• В $$\triangle KDA$$: $$\angle KAD = 90^{\circ}$$, $$\angle NKK = \angle NKM$$.

4. Так как $$\angle NMK = \angle NKM$$ (из пункта 1), то $$\angle BMD = \angle AKD$$.

5. У нас есть:

• Гипотенузы: $$MD = DK$$ (из пункта 2).
• Острые углы: $$\angle BMD = \angle AKD$$ (из пункта 4).

6. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), $$\triangle MDB = \triangle KDA$$.

7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $$DB = DA$$.

Что и требовалось доказать.