3. В треугольнике MNK O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{OM}\) через векторы \(\vec{a}=\overrightarrow{NM}\) и \(\vec{b}=\overrightarrow{KM}\).

Пусть M — начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{MN}=-\vec{a}\), а \(\overrightarrow{MK}=-\vec{b}\). Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины; поэтому её радиус-вектор относительно M равен среднему радиус-векторов вершин:

\(\overrightarrow{MO}=\frac{\overrightarrow{MM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK}}{3}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{3}\).

Следовательно, \(\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{MO}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{3}\).

Ответ: \(\overrightarrow{OM}=\frac13(\vec{a}+\vec{b})\).