3 вариант. 1. Частица движется в плоскости xy с ускорением \(\vec a=-3\alpha\vec i\) (\(\vec i\) — единичный вектор вдоль оси x, \(\vec j\) — единичный вектор вдоль оси y; \(\alpha=\mathrm{const}\)). В начальный момент частица находилась в точке x=y=0, а начальная скорость \(\vec v(0)=2\beta\vec j\) (\(\vec j\) — единичный вектор вдоль оси y). Найти зависимость радиус-вектора частицы и скорости от времени, уравнение траектории, радиус кривизны траектории, нормальное и тангенциальное ускорение, а также угол между векторами скорости и ускорения.

Интегрируем ускорение по времени, используя начальные условия:

\(\vec v(t)=\vec v(0)+\vec a t=-3\alpha t\vec i+2\beta\vec j.\)

Ещё раз интегрируем и учитываем, что \(\vec r(0)=0\):

\(\vec r(t)=-\frac{3}{2}\alpha t^2\vec i+2\beta t\vec j.\)

Следовательно, координаты равны \(x=-\frac{3}{2}\alpha t^2\), \(y=2\beta t\). При \(\beta\ne0\), исключая время, получаем уравнение траектории:

\(x=-\frac{3\alpha}{8\beta^2}y^2.\)

Модуль скорости: \(v=\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}\). Нормальное ускорение определяется через модуль векторного произведения скорости и ускорения: \(a_n=\frac{|\vec v\times\vec a|}{v}=\frac{6|\alpha\beta|}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}\). Поэтому радиус кривизны:

\(\rho=\frac{v^2}{a_n}=\frac{(9\alpha^2t^2+4\beta^2)^{3/2}}{6|\alpha\beta|}\), если \(\alpha\beta\ne0\).

Тангенциальное ускорение — проекция ускорения на направление скорости:

\(a_\tau=\frac{\vec v\cdot\vec a}{v}=\frac{9\alpha^2t}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}.\)

Для угла \(\varphi\) между скоростью и ускорением используем скалярное произведение:

\(\cos\varphi=\frac{\vec v\cdot\vec a}{|\vec v||\vec a|}=\frac{3|\alpha|t}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}\), то есть \(\varphi=\arccos\!\left(\frac{3|\alpha|t}{\sqrt{9\alpha^2t^2+4\beta^2}}\right)\) при \(\alpha\ne0\). Вырожденные случаи, когда \(\alpha=0\) или \(\beta=0\), соответствуют прямолинейному движению и не имеют конечного радиуса кривизны.