3. Вершина A куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 0,9 является центром сферы, проходящей через точку A₁. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/π.

Радиус сферы равен расстоянию от A до A₁, то есть ребру куба: \(r=0{,}9\).

Поскольку A — вершина куба и центр сферы, внутри куба расположена одна восьмая полной сферы. Поэтому \(S=\frac18\cdot4\pi r^2=\frac{\pi r^2}{2}\).

Следовательно, \(\frac{S}{\pi}=\frac{0{,}9^2}{2}=\frac{0{,}81}{2}=0{,}405\).

Ответ: 0,405.