№3. Вершины правильного треугольника лежат на сфере. Найдите площадь сферы, если OO₁ = 5 см, AB = 10 см.

Пусть O — центр сферы, а O₁ — центр окружности, описанной около правильного треугольника. Перпендикуляр OO₁ к плоскости треугольника равен 5 см, сторона AB равна 10 см.

1. Радиус описанной около правильного треугольника окружности: \(O_1A=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}\) см.
2. В прямоугольном треугольнике OO₁A радиус сферы \(R=OA\): \(R^2=OO_1^2+O_1A^2=25+\frac{100}{3}=\frac{175}{3}\).
3. Площадь сферы: \(S=4\pi R^2=4\pi\cdot\frac{175}{3}=\frac{700\pi}{3}\) см².

Ответ: \(\frac{700\pi}{3}\) см².