3. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале этого года. Кроме этого, в начале третьего, а затем четвертого года вкладчик ежегодно пополняет вклад на 10 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад не меньше 15 млн рублей.

Пусть первоначальный вклад равен \(x\) млн рублей. За четыре года он увеличится в \(1.1^4=1.4641\) раза. Пополнение в начале третьего года увеличится за два года до \(10\cdot1.1^2=12.1\) млн рублей, а пополнение в начале четвертого — за один год до \(10\cdot1.1=11\) млн рублей.

Итоговая сумма равна \(1.4641x+23.1\) млн рублей. Сумма внесённых средств — \(x+20\) млн рублей, значит, начисленные проценты составляют \(0.4641x+3.1\) млн рублей.

Условие «не меньше 15 млн» даёт \(0.4641x+3.1\ge15\), то есть \(x\ge11.9/0.4641\approx25.64\). Следовательно, подходят все целые значения от 26 млн рублей и выше. Наибольшего такого вклада нет: увеличение первоначального вклада увеличивает и начисленные проценты.

Ответ: наибольшего размера не существует; минимальный целый первоначальный вклад, при котором начислят не меньше 15 млн рублей, — 26 млн рублей.