3. Вычислить: a) \(\frac{(5^6)^3 \cdot 125}{(5^7)^3}\) b) \(\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}}\)

Решение:

а) Вычисление выражения с степенями:

1. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
   }\): \[ \frac{5^{6
   \cdot 3}
   \cdot 125}{5^{7
   \cdot 3}} = \frac{5^{18}
   \cdot 125}{5^{21}} \]
2. Представим 125 как степень пятерки: \( 125 = 5^3 \)
3. Подставим: \[ \frac{5^{18}
   \cdot 5^3}{5^{21}} \]
4. Применим свойство степени \( a^m
   \cdot a^n = a^{m+n} \): \[ \frac{5^{18+3}}{5^{21}} = \frac{5^{21}}{5^{21}} \]
5. Выполним деление: \[ 1 \]

б) Вычисление выражения с степенями:

1. Представим 63 как произведение 7 и 9: \( 63 = 7
   \cdot 9 \)
2. Подставим в выражение: \[ \frac{7^{11}
   \cdot 9^{11}}{(7
   \cdot 9)^{10}} \]
3. Применим свойство степени \( (ab)^n = a^n
   \cdot b^n \): \[ \frac{7^{11}
   \cdot 9^{11}}{7^{10}
   \cdot 9^{10}} \]
4. Применим свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 7^{11-10}
   \cdot 9^{11-10} = 7^1
   \cdot 9^1 \]
5. Вычислим: \[ 7
   \cdot 9 = 63 \]

Ответ: а) 1; б) 63.