3. Вычислить площадь фигуры F, изображённой на рисунке 90.

Решение:

На рисунке 90 изображена фигура, ограниченная параболой \( y = x^2 - 2x + 2 \) и осью \( Ox \) на отрезке от \( x=0 \) до \( x=1 \). Площадь этой фигуры можно найти с помощью определённого интеграла.

Формула для вычисления площади фигуры под кривой \( y = f(x) \) от \( a \) до \( b \) равна:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \), \( a = 0 \) и \( b = 1 \).

\[ S = \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 2) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} \]\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{0}^{1} \]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ S = \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 + 2 \cdot 0 \right) \]\[ S = \left( \frac{1}{3} - 1 + 2 \right) - (0) \]\[ S = \frac{1}{3} + 1 \]\[ S = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: \( S = \frac{4}{3} \).