4. Вычислить интеграл: a) \(\\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx\)

Решение:

Вычислим определённый интеграл \( \int_{1}^{2} (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx \).

Сначала найдём первообразную для подынтегральной функции \( 3x^2 - 4x - 2x^{-2} \).

\[ \int (3x^2 - 4x - 2x^{-2}) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^{-1}}{-1} + C = x^3 - 2x^2 + \frac{2}{x} + C \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{1}^{2} (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx = \left[ x^3 - 2x^2 + \frac{2}{x} \right]_{1}^{2} \]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[ = \left( 2^3 - 2(2^2) + \frac{2}{2} \right) - \left( 1^3 - 2(1^2) + \frac{2}{1} \right) \]\[ = \left( 8 - 2(4) + 1 \right) - \left( 1 - 2(1) + 2 \right) \]\[ = \left( 8 - 8 + 1 \right) - \left( 1 - 2 + 2 \right) \]\[ = (1) - (1) \]\[ = 0 \]

Ответ: 0.