Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Вычислим определённый интеграл \( \int_{1}^{4} (4\sqrt{x} - 3x^2) dx \).
Сначала найдём первообразную для подынтегральной функции \( 4x^{1/2} - 3x^2 \).
\[ \int (4x^{1/2} - 3x^2) dx = 4\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 3\frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 4\frac{x^{3/2}}{3/2} - 3\frac{x^3}{3} + C = 4\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} - x^3 + C = \frac{8}{3}x^{3/2} - x^3 + C \]Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
\[ \int_{1}^{4} (4\sqrt{x} - 3x^2) dx = \left[ \frac{8}{3}x^{3/2} - x^3 \right]_{1}^{4} \]Подставим верхний и нижний пределы:
\[ = \left( \frac{8}{3}(4)^{3/2} - 4^3 \right) - \left( \frac{8}{3}(1)^{3/2} - 1^3 \right) \]\[ = \left( \frac{8}{3}(8) - 64 \right) - \left( \frac{8}{3}(1) - 1 \right) \]\[ = \left( \frac{64}{3} - 64 \right) - \left( \frac{8}{3} - 1 \right) \]Приведём к общему знаменателю:
\[ = \left( \frac{64}{3} - \frac{192}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{3}{3} \right) \]\[ = \left( -\frac{128}{3} \right) - \left( \frac{5}{3} \right) \]\[ = -\frac{128}{3} - \frac{5}{3} \]\[ = -\frac{133}{3} \]Ответ: \( -\frac{133}{3} \).
