3. Вычислите: а) 7^2 * 7^11 / 7^15; б) 5^2 * 125 / 25^4

Решение:

а) \( \frac{7^2 \cdot 7^{11}}{7^{15}} \)

1. Воспользуемся свойством степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
2. \( \frac{7^{2+11}}{7^{15}} = \frac{7^{13}}{7^{15}} \)
3. \( 7^{13-15} = 7^{-2} \)
4. \( 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \)

б) \( \frac{5^2 \cdot 125}{25^4} \)

1. Представим числа \( 125 \) и \( 25 \) как степени числа \( 5 \): \( 125 = 5^3 \), \( 25 = 5^2 \).
2. \( \frac{5^2 \cdot 5^3}{(5^2)^4} \)
3. Воспользуемся свойством степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
4. \( \frac{5^{2+3}}{5^{2 \cdot 4}} = \frac{5^5}{5^8} \)
5. \( 5^{5-8} = 5^{-3} \)
6. \( 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \)

Ответ: а) \( \frac{1}{49} \); б) \( \frac{1}{125} \).