3. Вычислите: а) \(\frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4}\)

Решение:

3) а) \(\frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4}\)

1. Применим свойство степени \( (x^m)^n = x^{mn} \) в числителе: \( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4} \)
2. Представим основание \(36\) как произведение степеней простых чисел: \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \)
3. Подставим это в знаменатель: \( 4 \cdot (2^2 \cdot 3^2)^4 \)
4. Применим свойство \( (xy)^n = x^n y^n \): \( 4 \cdot (2^2)^4 \cdot (3^2)^4 \)
5. Применим свойство \( (x^m)^n = x^{mn} \): \( 4 \cdot 2^8 \cdot 3^8 \)
6. Представим \(4\) как \(2^2\): \( 2^2 \cdot 2^8 \cdot 3^8 \)
7. Применим свойство \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \): \( 2^{2+8} \cdot 3^8 = 2^{10} \cdot 3^8 \)
8. Теперь вернёмся к дроби: \( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{10} \cdot 3^8} \)
9. Сократим \(3^8\): \( \frac{2^{11}}{2^{10}} \)
10. Применим свойство \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \): \( 2^{11-10} = 2^1 \)
11. Получим: \( 2 \)

Ответ: 2.