3). Вычислите: a) \(\frac{5^8 \cdot 5^7}{5^{12}}\) ; б) \(\frac{25^5 \cdot 8}{4^3}\)

Задание 3. Вычисления

а) Вычислим дробь:

1. Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе:
\[ \frac{5^8 \cdot 5^7}{5^{12}} = \frac{5^{8+7}}{5^{12}} = \frac{5^{15}}{5^{12}} \]
2. Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
\[ 5^{15-12} = 5^3 \]
3. Вычислим результат:
\[ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \]

Ответ: 125

б) Вычислим дробь:

1. Представим основания степеней в виде простых множителей: \( 25 = 5^2 \) и \( 4 = 2^2 \).
\[ \frac{25^5 \cdot 8}{4^3} = \frac{(5^2)^5 \cdot 2^3}{(2^2)^3} \]
2. Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
\[ \frac{5^{2 \cdot 5} \cdot 2^3}{2^{2 \cdot 3}} = \frac{5^{10} \cdot 2^3}{2^6} \]
3. Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
\[ 5^{10} \cdot 2^{3-6} = 5^{10} \cdot 2^{-3} \]
4. Представим отрицательную степень как дробь: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
\[ \frac{5^{10}}{2^3} = \frac{5^{10}}{8} \]
5. Вычислим степень \( 5^{10} \).
\[ 5^2 = 25 \] \[ 5^4 = 25^2 = 625 \] \[ 5^8 = 625^2 = 390625 \] \[ 5^{10} = 5^8 \cdot 5^2 = 390625 \cdot 25 = 9765625 \]
6. Подставим значение и вычислим:
\[ \frac{9765625}{8} = 1220703.125 \]

Ответ: \( \frac{9765625}{8} \) или \( 1220703.125 \)