3. Вычислите: a) \(\frac{710 \cdot 78}{715}\) b) \(\frac{46 \cdot 16}{84}\)

Решение:

a) Вычисление дроби:

• Представим число 715 как произведение 5 и 143.
• Число 78 можно представить как 2 \(\times\) 39.
• Число 710 можно представить как 10 \(\times\) 71.
• Перепишем выражение: \(\frac{710 \cdot 78}{715} = \frac{(10 \cdot 71) \cdot (2 \cdot 39)}{5 \cdot 143} = \frac{(2 \cdot 5 \cdot 71) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 13)}{5 \cdot (11 \cdot 13)} \)
• Сокращаем общие множители:
• \(\frac{2 \cdot 71 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cancel{13}}{\cancel{5} \cdot 11 \cdot \cancel{13}} = \frac{2 \cdot 71 \cdot 2 \cdot 3}{11} = \frac{8484}{11} \)
• Выполним деление: \( 8484 \div 11 \)
• \( 84 \div 11 = 7 \) с остатком \( 7 \).
• \( 78 \div 11 = 7 \) с остатком \( 1 \).
• \( 14 \div 11 = 1 \) с остатком \( 3 \).
• Получаем \( 771 \frac{3}{11} \)

б) Вычисление дроби:

• Разложим числа на множители:
• \( 46 = 2 \cdot 23 \)
• \( 16 = 2^4 \)
• \( 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \)
• Подставим в дробь:
• \(\frac{46 \cdot 16}{84} = \frac{(2 \cdot 23) \cdot (2^4)}{2^2 \cdot 3 \cdot 7} \)
• Сокращаем степени двойки: \( 2^1 \cdot 2^4 = 2^5 \), \( 2^2 \)
• \( \frac{2^5 \cdot 23}{2^2 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2^{5-2} \cdot 23}{3 \cdot 7} = \frac{2^3 \cdot 23}{21} = \frac{8 \cdot 23}{21} \)
• \( 8 \cdot 23 = 184 \)
• \(\frac{184}{21} \)
• Выполним деление: \( 184 \div 21 \)
• \( 184 \div 21 = 8 \) с остатком \( 16 \).
• Получаем \( 8 \frac{16}{21} \)

Ответ: a) \( 771 \frac{3}{11} \); б) \( 8 \frac{16}{21} \).