Ответ:

С производными предлогами:

  1. Несмотря на усталость, туристы продолжали идти. Несмотря на имеет уступительное значение и пишется слитно.
  2. Благодаря помощи друзей мы справились с работой. Благодаря — производный предлог, пишется слитно.

С деепричастиями:

  1. Он отвечал, не смотря на собеседника. Не смотря — деепричастие с частицей не, поэтому пишется раздельно.
  2. Она шла по тропинке, благодаря проводника за помощь. Благодаря — деепричастие со значением действия (говоря «спасибо»), а не предлог; пишется слитно.