3. Выполните действия: 1) 2 · 2^(1/2) · 2^(1/4) · 2^(1/8); 2) ((2^(2/3))/(4^(5/6)))³; 3) √((√3 · ∛9)/⁴√27); 4) (a^(2/3)a^(−5/4))/(a^(3/2)a^(−1/3)); 5) ((a²)^(1/3))^(3/5); 6) (3^(1/3) · 7^(1/3))/9^(1/3).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели: 2 · 2^1/2 · 2^1/4 · 2^1/8 = 2^{1+1/2+1/4+1/8} = 2^15/8.
Преобразуем 4 в степень двойки: ((2^2/3)/(4^5/6))³ = (2^2/3/2^5/3)³ = (2⁻¹)³ = 1/8.
Запишем корни как степени: √((√3 · ∛9)/⁴√27) = (3^{1/2+2/3−3/4})^1/2 = 3^5/24.
В числителе показатели складываются, как и в знаменателе; при делении их разность равна (2/3 − 5/4) − (3/2 − 1/3) = −7/4. Значит, результат — a^−7/4 = 1/a^7/4 (a ≠ 0).
При возведении степени в степень показатели перемножаются: ((a²)^1/3)^3/5 = a^2·1/3·3/5 = a^2/5.
Сначала объединяем одинаковые показатели: (3^1/3 · 7^1/3)/9^1/3 = (21/9)^1/3 = ∛(7/3).

Ответ: