3. Выполните вычитание: \( 110001_2 - 10100_2 \). Ответ запишите в двоичной системе счисления. Основание системы писать не нужно. Ответ:

Задание 3. Вычитание в двоичной системе

Выполним вычитание в столбик, как в десятичной системе, но с учетом правил двоичной арифметики.

\( 110001_2 \)

\( - 10100_2 \)

Сразу видим, что из \( 0 \) вычесть \( 1 \) нельзя, поэтому будем занимать у соседних разрядов.

1. Начнем с крайнего правого разряда (единиц): \( 1 - 0 = 1 \).
2. Следующий разряд (двоек): \( 0 - 0 = 0 \).
3. Следующий разряд (четверок): \( 0 - 1 \). Занимаем у следующего разряда. У нас было \( 0 \), занимаем у \( 1 \) (пятерок), который сам должен занять у \( 1 \) (шестнадцатерок).
4. Разберем заимствование подробнее:
• \( 110001_2 \) можно представить как \( 1 · 2^5 + 1 · 2^4 + 0 · 2^3 + 0 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 \)
• \( 10100_2 \) можно представить как \( 1 · 2^4 + 0 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 0 · 2^0 \)
5. Вычитаем по разрядам, учитывая заимствование:
• Разряд \( 2^0 \) (единицы): \( 1 - 0 = 1 \).
• Разряд \( 2^1 \) (двойки): \( 0 - 0 = 0 \).
• Разряд \( 2^2 \) (четверки): \( 0 - 1 \). Занимаем у \( 2^3 \) (восьмерки). \( 2^2 \) разряд становится \( 2 · 2^1 \) (то есть \( 2 \) двойки). Отдаем \( 1 \) двойку \( 2^1 \) разряду, остается \( 1 \) двойка. Теперь у \( 2^2 \) разряда \( 2 \) двойки. \( 2 - 1 = 1 \).
• Разряд \( 2^3 \) (восьмерки): Было \( 0 \), заняли у \( 2^4 \). Стало \( 2 \) двойки \( 2^2 \). Отдали \( 1 \) двойку \( 2^2 \) разряду. Осталось \( 1 \) двойка \( 2^2 \). Теперь в \( 2^3 \) разряде \( 1 \) двойка. Вычитаем \( 0 \). \( 1 - 0 = 1 \).
• Разряд \( 2^4 \) (шестнадцать): Было \( 1 \), заняли у него для \( 2^3 \) разряда. Осталось \( 0 \). Вычитаем \( 1 \) (из \( 10100_2 \)). \( 0 - 1 \). Занимаем у \( 2^5 \) разряда. \( 0 \) становится \( 2 \). \( 2 - 1 = 1 \).
• Разряд \( 2^5 \) (тридцать два): Было \( 1 \), заняли для \( 2^4 \) разряда. Осталось \( 0 \). Вычитаем \( 0 \). \( 0 - 0 = 0 \).

Итак, результат вычитания:

  110001_2

-  10100_2

-------

   10101_2

Проверим: \( 10101_2 = 1 · 2^4 + 0 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21_{10} \).

\( 110001_2 = 32 + 16 + 1 = 49_{10} \).

\( 10100_2 = 16 + 4 = 20_{10} \).

\( 49 - 20 = 29 \). Тут ошибка. Давайте пересчитаем.

Попробуем еще раз, более наглядно:

  1  1  0  0  0  1_2

-    1  0  1  0  0_2

------------------

  1  0  1  0  1_2

Чтобы из \( 0 \) вычесть \( 1 \) в разряде \( 2^2 \) (четверок), занимаем у \( 2^3 \) (восьмерок). Разряд \( 2^3 \) становится \( 0 \) (так как мы у него заняли), а разряд \( 2^2 \) становится \( 2 \) (двойки). Теперь \( 2 - 1 = 1 \) в разряде \( 2^2 \).

Разряд \( 2^3 \) (восьмерок): было \( 0 \), заняли у \( 2^4 \) (шестнадцатерок). Разряд \( 2^4 \) стал \( 0 \), а \( 2^3 \) стал \( 2 \) (двойки). Но мы у него заняли для \( 2^2 \) разряда, так что в \( 2^3 \) осталась \( 1 \) двойка. Теперь \( 1 - 0 = 1 \) в разряде \( 2^3 \).

Разряд \( 2^4 \) (шестнадцать): было \( 1 \), заняли для \( 2^3 \) разряда. Осталось \( 0 \). Теперь \( 0 - 1 \). Занимаем у \( 2^5 \) (тридцать два). Разряд \( 2^5 \) стал \( 0 \), а \( 2^4 \) стал \( 2 \) (двойки). Теперь \( 2 - 1 = 1 \) в разряде \( 2^4 \).

Разряд \( 2^5 \) (тридцать два): было \( 1 \), заняли для \( 2^4 \) разряда. Осталось \( 0 \). Теперь \( 0 - 0 = 0 \) в разряде \( 2^5 \).

Результат: \( 010101_2 \), что равно \( 10101_2 \).

Давайте проверим десятичные эквиваленты: \( 110001_2 = 32 + 16 + 1 = 49 \). \( 10100_2 = 16 + 4 = 20 \). \( 49 - 20 = 29 \).

Теперь переведем \( 10101_2 \) в десятичную: \( 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 16 + 4 + 1 = 21 \). Опять не совпадает. Похоже, была ошибка в изначальном рассуждении. Внимательно пересчитаем.

\( 110001_2 \)

\( - 010100_2 \) (дописали ноль для выравнивания)

Разряд \( 2^0 \): \( 1 - 0 = 1 \)

Разряд \( 2^1 \): \( 0 - 0 = 0 \)

Разряд \( 2^2 \): \( 0 - 1 \). Занимаем у \( 2^3 \). \( 2^3 \) становится \( 0 \), \( 2^2 \) становится \( 2 \). \( 2 - 1 = 1 \).

Разряд \( 2^3 \): было \( 0 \), заняли у \( 2^4 \). \( 2^4 \) становится \( 0 \), \( 2^3 \) становится \( 2 \). Но мы у него заняли для \( 2^2 \), так что в \( 2^3 \) осталась \( 1 \). \( 1 - 0 = 1 \).

Разряд \( 2^4 \): было \( 1 \), заняли у него. Осталось \( 0 \). \( 0 - 1 \). Занимаем у \( 2^5 \). \( 2^5 \) становится \( 0 \), \( 2^4 \) становится \( 2 \). \( 2 - 1 = 1 \).

Разряд \( 2^5 \): было \( 1 \), заняли у него. Осталось \( 0 \). \( 0 - 0 = 0 \).

Результат: \( 010101_2 \) -> \( 10101_2 \). Это все еще 21. Давайте проверим десятичные значения еще раз.

\( 110001_2 = 1 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 32 + 16 + 1 = 49 \). Это верно.

\( 10100_2 = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 = 16 + 4 = 20 \). Это верно.

\( 49 - 20 = 29 \). Десятичный результат - 29.

Теперь нужно найти двоичное представление числа 29.

\( 29 = 16 + 8 + 4 + 1 \)

\( 29 = 1 · 2^4 + 1 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0 \)

\( 29_{10} = 11101_2 \).

Где же ошибка в поразрядном вычитании?

Попробуем такой вариант:

  110001

-  10100

Разряд единиц: \( 1 - 0 = 1 \).

Разряд двоек: \( 0 - 0 = 0 \).

Разряд четверок: \( 0 - 1 \). Занимаем у восьмерок. Восьмерки были \( 0 \), занимаем у шестнадцатерок. Шестнадцатерки были \( 1 \), отдают \( 1 \) восьмеркам. Шестнадцатерки становятся \( 0 \). Восьмерки получают \( 2 \) (двойки). Теперь у восьмерок \( 2 \). Они отдают \( 1 \) четверкам. Восьмерки остаются \( 1 \). Четверки получают \( 2 \). Теперь \( 2 - 1 = 1 \).

Разряд восьмерок: было \( 0 \), стало \( 1 \) (после заимствования). \( 1 - 0 = 1 \).

Разряд шестнадцатерок: было \( 1 \), стало \( 0 \) (после того, как отдали восьмеркам). \( 0 - 1 \). Занимаем у тридцати двух. Тридцать два были \( 1 \), становятся \( 0 \). Шестнадцатерки получают \( 2 \). \( 2 - 1 = 1 \).

Разряд тридцати двух: было \( 1 \), стало \( 0 \) (после заимствования). \( 0 - 0 = 0 \).

Итого: \( 011101_2 \) = \( 11101_2 \).

Это число \( 29_{10} \).

Ответ: 11101