3. Выполните задания (1 уровень). 1) Прямые a и b пересекаются. Прямая c является скрещивающейся с прямой a. Могут ли прямые b и c быть параллельными? 2) Плоскость α проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD — точки M и N. а) Верно ли, что AD ∥ α? б) Найдите BC, если AD = 10 см, MN = 8 см. 3) Прямая MA проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата. а) Каково взаимное расположение прямых MA и BC? б) Найдите угол между прямыми MA и BC, если ∠MAD = 45°.

1) Да, могут. Например, прямая b может быть параллельна c, при этом c не пересекает a и не лежит с ней в одной плоскости. Это не противоречит условию, что b пересекает a.

2а) В трапеции с боковыми сторонами AB и CD отрезок MN, соединяющий их середины, параллелен основаниям AD и BC. Поскольку MN лежит в плоскости α, прямая AD параллельна плоскости α. Да, верно.

2б) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(MN=\frac{AD+BC}{2}\). Подставим данные: \(8=\frac{10+BC}{2}\), следовательно, \(16=10+BC\) и \(BC=6\) см.

3а) Прямая MA пересекает плоскость квадрата только в точке A, поскольку проходит через A и не лежит в этой плоскости. Прямая BC лежит в плоскости квадрата и не проходит через A. Значит, MA и BC не пересекаются и не лежат в одной плоскости: это скрещивающиеся прямые.

3б) В квадрате AD ∥ BC. Угол между прямыми MA и BC равен углу между MA и параллельной ей прямой AD. Поэтому он равен ∠MAD = 45°.

Ответ: 1) да; 2а) да; 2б) 6 см; 3а) скрещивающиеся; 3б) 45°.